賭場的收入主要來自賭博的收益，因此賭客在賭場贏錢的期望值通常都是負的。玩得越久，賠得越多。但是期望值並非影響賺賠的唯一因素。很少人知道，在期望值為正的賭場裡大部分的人還是在賠錢。
公平的硬幣卻使人賠錢
首先玩猜硬幣，正面和反面出現的機會各二分之一。起始本金1000元，賭對了可以獲得0.6倍本金，賭錯了只會損失0.5倍本金，因此期望值為1.05倍。讓我們玩四次，結果如下圖：
高達68.75%的人都在賠錢。假設你幸運的成為贏錢的31.25%的人，我也不建議你繼續賭，因為這個分布與持有金無關。如果贏錢的人再賭四次，輸掉獎金加本金的機率也是高達68.75%。所以，不能凡事都只看期望值，分布也是非常重要的。
為什麼還是賠錢?
對於大多數的賭局而言，下注的人可能會贏錢、和局、或是賠錢。和局的機率可以忽略，因為和局不會影響持有金。假設贏錢的機率為$p$、賠錢的機率為$1-p$。每次可能贏得的金額為本金的$r_{1}$倍，也可能輸掉本金的$r_{2}$倍。
以猜硬幣的例子來說，令本金為$1$, $p=0.5$, $r_{1}=0.6$, $r_{2}=0.5$，期望值$E=p \times (1+r_{1}) + (1-p) \times (1-r_{2})=1.05$。如果玩這個遊戲99次，勝利次數對機率的分布圖呈現二項式分布。另外，我們要計算不同勝利次數對獎金的分布圖。從圖二可以發現，至少要贏$59$次才不至於賠錢，但是贏$59$次的機率只有$2.19\%$。
有趣的是，只要降低下注金額，就可以提高贏錢的機率。以下我逐步從下注$1\%$逐步調升到梭哈($100\%$)並畫成圖三。當賭注很小時，不只期望值大於1，贏錢的機會也大於50%。隨著賭注佔本金的比例增加，贏錢的機會呈現穩定下降，需要的勝利次數也漸漸上升。
更不用說一般賭局了，本來期望值就小於1，贏錢的機率更是低得可憐。典型的遊戲，勝率大約是$45\%$，贏了可以拿1倍賭注，輸了則失去賭注。根據上述，令$p=0.45$, $r_{1}=r_{2}=1$，期望值只有$0.9$。賭注佔本金比例與勝率的關係如圖四：
小結
不只過低的期望值會使賭徒輸光，下大注也會輸光。在賭場之外，人們也常常需要賭一把。如果我將所有的財產押注在高收益的資產，我賺錢的機率能有多高呢？為什麼當沖和槓桿交易總是在股市中賠錢呢？文中的例子都是以零和遊戲舉例，非零和遊戲也有一樣的特色嗎？我很期待各位讀者的答案。
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